[Digital Logic #4][부울대수(불대수)]

 

 

 

안녕하세요 오늘은 부울대수에 대해서 배워보도록 하겠습니다.

 

부울대수는 불대수라고도 부릅니다. 저는 부울대수라고 표현하도록 하겠습니다.

 

 

부울 대수에 대해서 알아보기 전에 부울대수에 관한 정보와 함께

스위칭 함수에 대해서 간단하게 살펴본 다음에 부울 대수에 대한

 

법칙들과 논리 회로로 어떻게 표현하는지에 대해서 배워보도록 하겠습니다.

 

 

부울대수(Boolean Algebra)

 

불 대수는 논리적 공리들을 만족시키는 논리합과 논리곱 및 부정의 연산이 정의된 대수구조 입니다.

 

대수구조를 자세히 살펴보자면 많이 복잡합니다.

대수 구조 안에 군,환, 체, 가군관련, 대수 관련 그리고 격자관련이 있으며,

격자 관련 카테고리에 속해있는 것이 부울대수 입니다.

 

여기서 부울대수는 고전 명제 논리의 명제의 격자와 같은 성질을 갖는 격자입니다.

이를 통해 참(True)와 거짓(False)을 나타내는 논리 변수와 그들 간의 논리 연산을 다루는 것입니다.

 

여기서 부울대수에 대해서 알아보기 전에 스위칭 함수에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

스위칭 함수(Switching Function)

 

스위칭 함수(Switching Function)는 부울 대수의 개념과 원리를 기반으로 합니다.

부울 대수에서 정의된 논리적인 연산(AND, OR, NOT등)은 스위칭 함수에서 각각의

스위치나 게이트를 나타냅니다.

 

쉽게 이야기 하자면, 스위칭 함수는 1(High), 0(Low)로 나타내는 디지털 회로를

결과 값 또는 조건에 대한 인풋과의 상호연결과 더불어 실제 디지털 논리회로의 설계와

분석에 광범위하게 활용되는 함수입니다.

 

 

 

여기까지 부울대수와 스위칭 함수에 대해서 간단하게 알아봤는데요,

자세히 알기 위해서는 상당히 복잡하기 때문에 더 자세히 알아보고 싶은 분은

맨 아래 참고한 글에 대해서 살펴보시기 바랍니다.

 

 

 

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부울 대수의 공준(Postulates)과 정리(Theorem)

 

 

부울 대수에서 꼭 알고가야 할 공준과 법칙에 대해서 설명하고 넘어가도록 할게요.

 

공준2	$$ x + 0 = x $$	$$ x * 1 = x $$
공준5	$$ x + x^{'} = 1\; or \;x + \overline{x} = 1 $$	$$ x*\overline{x} = 0 $$
정리1	$$ x + x = x $$	$$ x * x = x $$
정리2	$$ x + 1 = 1 $$	$$ x * 0 = 0 $$
정리3,	$$ \overline{(\overline{x})} = x $$
공준3, 교환법칙 (commutative)	$$ x + y = y + x $$	$$ xy = yx $$
정리4, 결합법칙 (associative)	$$ x+ (y + z) = (x + y) + z $$	$$ x(yz) = (xy)z $$
공준4, 분배법칙 (disstributive)	$$ x(y + z) = xy + xz $$	$$ x + yz = (x + y)(x + z) $$
정리5, 드모르간 법칙 (De Morgan)	$$ \overline{(x + y)} = \overline{x} \overline{y} $$	$$ \overline{{xy}} = \overline{x} + \overline{y} $$
정리6, 흡수법칙 (absorption)	$$ x + xy = x $$	$$ x(x + y) = x $$

 

 

이 표를 간단하고 편하게 보자면 아래와 같습니다.

 

 

 

위의 법칙은 암기해도 괜찮지만, 진리표를 통해서도 확인이 가능합니다.

 

여기서 한번 10 ~ 12번까지 어떤 방식으로 결과값이 나오는지 확인해 보는 것이

이해가 가장 쉬울 것이라고 생각합니다.

 

 

아래를 참고해서 확인해보시면 보기보다 쉽다는 생각을 하실 것 입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

또한 논리회로로써 위의 부울대수의 법칙에 대해서 표현해보면 아래와 같습니다.

 

 

• 교환법칙(Commutative Law)

 

 

 

 

• 결합법칙(Associative Law)

 

 

 

• 분배법칙(Disstributive Law)

 

 

위에 표를 참고해 보시면 드모르간에 대한 규칙을 보실 수 있습니다.

두 가지의 규칙을 NAND와 negative-OR 그리고 NOR과 negative-AND gate로 표현할 수 있습니다.

기본적인 것이지만 처음에는 많이 생소할 것 이라는 생각이 들기 때문에 아래 그림으로 보고나서 넘어가겠습니다.

 

 

 

마지막으로, 아래 드모르간에 대한 감을 익히기 위해서 아래 문제의 풀이 방법대로

절차를 밟아서 풀어보시는게 좋을 것 같아요.

 

 

 

 

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이제 마지막으로, 회로의 간략화에 대해서 간단하게 이야기하고 글을 마치도록 하겠습니다.

 

위의 부울대수의 법칙들을 보면, 이를 이용해서 회로를 간단하게 만들 수 있다는 생각이 드시나요?

 

회로를 간략화 하는데에 위의 법칙들을 이용해서 회로를 간략화 할 수 있습니다.

 

아무래도 글로만 설명하면 어렵기 때문에, 아래의 예시를 보고 넘어가시면 이해가 쉬울거에요.

물론 왜 그렇게 되는지는 당연히 위의 부울대수의 법칙들을 살펴보면 이해가 될거에요.

 

 

그림을 보면 충분히 이해가 되시죠?

 

이제 정말 마지막으로 간단하게 다음에 배울 용어에 대해서 짚고 글을 마치도록 하겠습니다.

 

부울 식은 형태에 관계없이 두 가지 표준형태로 변환이 가능한데요, 이는 곱의 합과 합의 곱 형태로 전환할 수 있습니다.

또한 부울 식을 간략화하기 위한 방법으로 카르노 맵(Karnaugh)이라는 방법이 있습니다.

 

1. sum of product(SOP) 곱의 합

2. product of sum(POS) 합의 곱

3. Karnaugh 카르노 맵

 

 

 

다음 시간에는 위의 세 가지에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

 

감사합니다.

 

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· 참조

 

 

https://www.electronics-tutorials.ws/boolean/switching-theory.html

Switching Theory of Boolean Logic

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%88_%EB%8C%80%EC%88%98

불 대수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%8A%A4%EC%9C%84%EC%B9%AD_%ED%9A%8C%EB%A1%9C_%EC%9D%B4%EB%A1%A0

스위칭 회로 이론 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전