[신호와 시스템][Elementary Signals]

 

 

 

 

순서상 Time transformation에 대해서 먼저 알아봐야 하지만,

Elementary Signals은 암기해야 할 것들이 조금 있어서 먼저 살펴보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

Unit Step Function(signal)

 

 

 

 

 

 

 

unit step function은 위와 같은 형태를 띄고 있습니다.

$\text{u(t) = } \begin{matrix} 1,\; t > 0 \\ 0,\; t < 0 \end{matrix}$

 

$u(0) =  \frac{1}{2}[u(0^{+})+u(0^{-})]=\frac{1}{2} \; \text{or} \; undefined$

 

 

 

 

 

 

 

Rectangular function(pulse)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위의 pulse는 $rect(\frac{t}{2a})$와 같이 표현할 수 있고,

 

Rectangular fucntion은 다시 $rect(\frac{t}{2a}) \; = \; [u(t+a)-u(t-a)]$로 포현할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

왜 $\text{ [u(t+a) - u(t-a)] }$와 같이 표현되는지 알고 싶다면,

 

 

 

위의 그림에서 신호들을 어떻게 빼고 더하는지 그리고 옮겨지는지를 살펴보면 자세히 알 수 있습니다.

 

아래와 같이 그려지기 때문에 결국에는 Rectangular function이 어떻게 unit step function으로 그려진다는 것인지 알 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

솔직히 저는 처음에 여기서 그려지는 것이 많이 헷갈렸기 때문에 아래에 Rectangular function의 예시 하나를 더 들고 가겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Signum function

 

 

 

 

 

 

 

 

$\text{sgn(t) = } \begin{matrix} 1,\; t > 0 \\ 0,\; t = 0 \\ -1,\; t < 0 \end{matrix}$

 

여기서 signum function은 또 다시 unit step function으로 표현될 수 있습니다.

 

$sgn(t) = -1+2u(t)$

 

 

간략하게 설명하자면, $2u(t)$가 2가 되는 부분에서 -1을 만나서 $t>0$인 구간에서는 1이 될 것이고,

$2u(t)$가 $t<0$인 구간에서는 -1을 만나서 -1이 되기 때문에 위의 그림과 같이 signum function은

unit step function과의 조합으로 그려질 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

Ramp function

 

 

 

 

 

 

 

Ramp function은 위와 같이 그려집니다.

 

Ramp function도 실은 unit step function과 얽힌 관계가 있는데,

 

$\int_{-\infty}^{t} u(t) dt \; = \; r(t)$

 

위와 같은 관계를 가지고 있습니다.

 

 

 

 

 

 

Sampling function

 

 

 

 

 

 

$Sa(t) \; = \; \frac{sint}{t}$

 

$Sa(0) \; = \; \lim \limits_{t\to 0} \frac{sint}{t} \; = \; \frac{cost}{1} \; = \; \frac{1}{1} \; = \; 1$

 

 

 

$sinc(t) \; = \; \frac{sin \pi t}{\pi t} \; = \; Sa(\pi t)$

 

여기서 사실은 $Sa(t)$의 Time-scaling으로 만들어진다는 것을 알 수 있습니다.

 

아직 Time transformation에 대해서 안배웠기 때문에 다음 시간에 배우고 난 이후에 다시 살펴보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

Unit Impulse Function = Delta Function

 

 

 

 

 

 

 

 

unit impulse function(delta function)은 property가 많이 있고, 이 과목에서 많이 다루기 때문에 최대한 다 알고 계시는게 유리합니다.

 

 

· properties

 

a) $\delta(0) \; \rightarrow \; \infty$

 

b) $\delta(t) = 0,  \; t \neq 0$

 

c) $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt \; = 1$

 

d) $\delta(t) \; = \; \delta(-t)$ $\rightarrow$ even function

 

e) $\delta(t) \; = \; \frac{du(t)}{dt}$ , $\int_{-\infty}^{t} \delta(t) dt \; = u(t)$

 

f) $x(t)\delta(t)\; = \;x(0)\delta(t)$

 

g) $\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\delta(t) dt \; = x(0)$

 

h) $\int_{-\infty}^{t} x(t)\delta(t-t_{0}) dt \; = x(t_{0})$

 

i)  $\int_{t_{1}}^{t_{2}} x(t)\delta(t-t_{0}) dt \; = \begin{matrix} x(t_{0}), \; for \; t_{1}<t_{0}<t_{2} \\ 0, otherwise \end{matrix}$

 

j) $\delta(at) \; = \; \frac{1}{\vert a \vert} \delta(t), \; \delta(at+b) \; = \delta(a(t+\frac{b}{a})) = \frac{1}{\vert a \vert} \delta(t+\frac{b}{a})$

 

 

k) $\int_{t_{1}}^{t_{2}} x(t)\delta'(t-t_{0}) dt \; = \; -x'(t_{0}), \; for \; t_{1} < t_{0} < t_{2}$

 

 

 

properties에서 k)를 확장하게 되면 아래와 같이 미분 횟수에 따라 표현될 수 있습니다.

 

 

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} x(t)\delta''(t-t_{0}) dt \; = \; (-1)^{2}x''(t_{0}), \; for \; t_{1} < t_{0} < t_{2}$

$\downarrow$

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} x(t)\delta'''(t-t_{0}) dt \; = \; (-1)^{3}x'''(t_{0}), \; for \; t_{1} < t_{0} < t_{2}$

$\downarrow$

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} x(t)\delta^{n}(t-t_{0}) dt \; = \; (-1)^{(n)}x^{(n)}(t_{0}), \; for \; t_{1} < t_{0} < t_{2}$

 

 

 

위에서 k)를 이용한 예제들을 간단하게 몇개 살펴보고 마치도록 하겠습니다.

 

$\int_{-2}^{1} (t+t^{2}) \delta(t-3) dt$

 

 

이 문제를 한번 풀어보도록 하겠습니다. 여기서 $t_{0} \; = \; 3$입니다.

여기서 적분 구간을 살펴보면 $-1 < t_{0}=3 < 1$이렇게 되기 때문에 $t_{0}$은 범위에 해당되지 않게 됩니다.

결론적으로 문제의 정답은 "0"이 됩니다.

 

 

이번에는 $\int_{0}^{5} e^{t-2}\delta(2t-4) dt$는 어떻게 풀 수 있을까요?

 

처음에 문제를 봤을 때, delta function안에 t앞에 붙어있는 2가 거스릴 겁니다.

 

여기서 delta function의 j) property(scaling property)를 이용해야 합니다.

 

우선 delta function의 property를 이용해서 괄호 안의 값을 빼주고 난 이후에 저희가 아는 꼴로 변경한 이후에

나머지 계산을 이어서 하시면 됩니다.

 

$\int_{0}^{5} e^{t-2} \frac{1}{2} \delta(t-2) dt$

 

$\leftrightarrow$ $\frac{1}{2} \int_{0}^{5} e^{t-2} \delta(t-2) dt$

 

$\leftrightarrow$ $\frac{1}{2}e^{t-2} \vert_{2} \; = \; \frac{1}{2}$

 

 

이제 진짜 마지막으로 delta function을 미분한 꼴의 문제 하나만 더 풀어보도록 하겠습니다.

 

 

$\int_{-2}^{4} (t+t^{2}) \delta'(t-3) dt \; = \; -(1+2t) \vert_{3} \; = \; -(1+6) \; = \; -7$

 

우선 정답과 함께 작성했는데, 여기서 보면 범위부터 체크하고, 범위가 맞다면 위에서 제가 말한 것과 같은 과정을 거쳐서

문제를 풀어주시면 간단하게 문제를 푸실 수 있습니다.

 

또 다른 예시로는 아래를 살펴보면 됩니다.

 

 

$\int_{-2}^{4} (t+t^{2}) \delta''(t-3) dt \; = \; (-1)^{2} \frac{d}{dt}(1+2t) \vert_{3} \; = \; 2$

 

이 문제는 위에서 알려드렸던 방법과 대입해서 풀어보시면 쉽게 풀리시죠?

 

 

 

 

---

 

 

지금까지 Elementary signals와 함께 properties들 그리고 함께 알고 넘어가야할 중요한 정보들을 짚고 넘어갔습니다.

이 부분은 반드시 암기하고 있으셔야 나중에 문제를 푸실 때 훨씬 수월하실 겁니다.

 

 

다음 시간에 Time transformation에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

감사합니다.